H (Hurst Exponent) — Экспонента Херста

Экспонента Херста (Hurst Exponent) — показатель долгосрочной корреляции и памяти временного ряда (цены, доходностей). Экспонента Херста назван в честь Гарольда Эдвина Херста, британского гидролога, который изучал реку Нил. Он заметил, что годовые наводнения реки имели тенденцию к скоплению во времени, с периодами высокой и низкой воды, продолжительностью годами.Это привело его к разработке концепции «памяти» во временных рядах, которая в настоящее время количественно определяется экспонентом Херста.Экспонент Херста обнаружил приложения в различных областях, включая финансы, физику и биологию.

Экспонента Херста не является осциллятором, который движется в том же направлении, что и тренд. Скорее, он измеряет вероятность движения цены в определенном направлении.

Hurst Exponent принимает значения обычно в диапазоне (0,1):
Экспонента Херста колеблется от 0 до 1, при этом 0,5 указывают на случайное ход (без памяти) и значения, превышающие 0,5, указывающие на наличие долговременной памяти.

— H ≈ 0.5 — поведение похоже на случайное блуждание (марковская, беспамятная), нет долгосрочной памяти.
— H > 0.5 — наличие положительной автокорреляции (трендовая / устойчивость): текущее движение тенденциозно продолжается в ту же сторону (persistence).
— H < 0.5 — наличие отрицательной автокорреляции (антитренд / возвращение к среднему): тенденции склонны к развороту (anti-persistent). Применение в трейдинге:
— Оценка рыночного режима: трендовый (H>0.5) vs флет/реверс (H≈0.5 или <0.5). - Выбор торговой стратегии: трендовые стратегии предпочтительны при H существенно >0.5; mean‑reversion — при H<0.5. - Оценка надёжности прогнозов и риска моделей, фильтрация сигналов. - Экспонента Херста может быть использован для различения стратегий среднего возврата и импульса в финансах.Средние стратегии возврата полагаются на предположение, что цены в конечном итоге вернутся к их среднему значению, в то время как стратегии импульса предполагают, что цены будут продолжать тенденцию в их нынешнем направлении. - Экспонента Hurst также может быть использован для определения наличия зависимости дальнего действия во временных рядах, который является свойством некоторых сложных систем Почему Экспонента Херста актуальна для финансовых рынков?
Для многих экономистов фундаментальное предположение о финансовых активах заключается в том, что изменения цен генерируются случайным образом без долговременной памяти. Однако, поведение сохранения ценовых рядов является хорошо документированным свойством многих финансовых рядов. Это свойство известно как long memory.

Финансовые рынки можно рассматривать как сложную смесь детерминированных хаотических систем и стохастических нелинейных систем. Гипотеза фрактального рынка подчеркивает хаотичную часть. Процессы, стоящие за рынками, имеют свою слабую детерминированную составляющую, но они имеют сильный встроенный компонент случайности. Кроме того рынки — это нелинейные системы обратной связи. Этот компонент привносит в систему рефлексивность, т.е. круговые отношения между причиной и следствием. Например, точное предсказание рынка изменило бы рынки полностью. Экспонента Херста, полученная из фрактальной размерности, описывает хаотические свойства временных рядов, и она говорит нам, существует ли длительный процесс памяти во временном ряду или нет.

Упрощенный взгляд на то, как цены на акции меняются с течением времени, заключается в том, что они следуют случайному блужданию. Эта модель, согласно которой цены на активы следуют случайному блужданию или гауссовскому броуновскому движению, лежит в основе модели Блэка-Шоулза для ценообразования опционов на акции. Фактические цены на акции не следуют чисто гауссовскому броуновскому процессу движения. У них есть зависимость (автокорреляция), где изменение в момент времени t имеет некоторую зависимость от изменения в момент времени t-1. Фактическая доходность акций, особенно ежедневная, обычно не имеет нормального распределения. Кривая распределения будет иметь более толстые хвосты, чем нормальное распределение. Кривая также будет иметь тенденцию быть больше ‘piece’ и тоньше посередине.

---

Расчет индикатора Hurst Exponent

Один из распространённых способов основан на анализе нормированного размаха (R/S):
— Для каждого окна длиной Length вычисляются накопленные отклонения от среднего.
— Определяется размах R как разность между максимальным и минимальным накопленным отклонением.
— Рассчитывается стандартное отклонение S в этом окне.
— Вычисляется нормированный размах R/S.
— Экспонента Херста определяется как наклон зависимости log(R/S) от log(Length).

Упрощенная формула экспоненты Херста

Где:
— Р(т) — диапазон отклонений совокупной суммы. Широкая идея, лежащая в основе Р(т) заключается в том, чтобы определить, насколько изменчив временной ряд
— С(т) — стандартное отклонение ряда. Он представляет собой стандартное отклонение ряда, фиксируя его среднюю дисперсию от среднего значения.

Расчёт индикатора Hurst Exponent
Существует несколько методов оценки Hurst exponent. Приведу наиболее распространённые: R/S‑анализ (Rescaled Range), метод DFA (Detrended Fluctuation Analysis), метод по спектру (spectral), и оценка через геометрическое масштабирование (variance of aggregated series). Ниже — описание R/S и DFA, так как они наиболее часто используются.

A. R/S‑анализ (Rescaled Range)
Шаги:
1. Имеется временной ряд X = [X_1, X_2, …, X_N] (например, лог‑доходности r_t или сами цены — выбор влияет на интерпретацию).
2. Для масштаба/блока размера n (n от малых значений до N) делим ряд на неперекрывающиеся или перекрывающиеся окна длины n.
3. В каждом окне i:
— Вычисляем среднее: m_i(n).
— Формируем накопленные отклонения: Y_k = ∑[j=1..k] (X[j] — m_i), k=1..n.
— Диапазон: R_i(n) = max_k Y_k — min_k Y_k.
— Стандартное отклонение: S_i(n) = √( (1/(n-1)) sum[j=1..n] (X_j — m_i)² ).
— Отношение R/S: (R/S)_i(n) = R_i(n) / S_i(n).
4. Среднее по окнам размера n: E[R/S](n).
5. Повторить шаги для разных n и построить зависимость E[R/S](n) от n в лог‑плоскости.
6. Оценка H — наклон в лог‑плоскости:
log(E[R/S](n)) ≈ H * log(n) + C
=> H = slope of linear fit of log(E[R/S]) vs log(n).

B. DFA (Detrended Fluctuation Analysis)
Хорош для нестационарных рядов.
Шаги:
1. Накопительная сумма (профиль): Y(k) = ∑[i=1..k] (X_i — mean(X)).
2. Разбить профиль на сегменты длины n.
3. В каждом сегменте подогнать тренд (обычно полином порядка m, чаще m=1 — линейный) и вычислить квадратичное отклонение от тренда.
4. Среднеквадратическая флуктуация F(n) = √( (1/N) sum[segments] (residuals²) ).
5. Повторить для разных n и найти зависимость F(n) ~ n^H. В лог‑координатах H — наклон:
log F(n) ≈ H * log n + C.

Пример формул (R/S):
— Y_k = ∑[i=1..k] (X_i — mean)
— R(n) = max_k Y_k − min_k Y_k
— S(n) = std[i=1..n](X_i)
— E[R/S](n) ∝ n^H => log E[R/S](n) = H log n + const

Пример формул (DFA):
— Y(k) = ∑[i=1..k] (X_i — mean)
— В каждом сегменте подогнать тренд Y_fit, вычислить F^2(n) = (1/n) sum (Y — Y_fit)²
— F(n) = sqrt(mean over segments of F²(n))
— F(n) ∝ n^H => log F(n) = H log n + const

Python Code for Calculating the Hurst Exponent
Below is a simple Python script. It estimates the Hurst Exponent by plotting the relationship between lag and the standard deviation of lagged differences.

from numpy import *
from pylab import plot, show

# Create an arbitrary time series
ts = [0]
for i in range(1, 100000):
    ts.append(ts[i - 1] + random.randn())

# Compute standard deviations of differenced series for several lags
lags = range(2, 20)
tau = [sqrt(std(subtract(ts[lag:], ts[:-lag]))) for lag in lags]

# Plot on a log-log scale
plot(log(lags), log(tau))
show()

# Estimate Hurst Exponent as slope of the log-log plot
m = polyfit(log(lags), log(tau), 1)
hurst = m[0] * 2.0
print('hurst =', hurst)

---

Как использовать Индикатор Hurst Exponent

Индикатор Hurst Exponent используется для анализа поведения рынка и разработки стратегий торговли. Например:

Для трендовых рынков — индикатор помогает определить, будет ли тренд продолжаться, и использовать стратегию продолжения тренда.

Для рынков, где рынок возвращается к среднему — индикатор указывает на постоянную тенденцию, что может использоваться в стратегии, основанной на возвращении к среднему.

Экспонента Херста может служить критерием для выбора либо импульса, либо стратегии возврата среднего значения. Hurst Exponent может быть использован для эффективного выбора пар из портфеля акций для стратегии парной торговли. Как мы знаем, парная торговля использует тот факт, что линейная комбинация двух активов’ цен может быть стационарной, следовательно, мы можем применить стратегию возврата среднего значения к разбросу цен таких пар, чтобы получить прибыль.

Одной из ключевых торговых концепций в наборе количественных инструментов является концепция реверсии среднего значения. Этот процесс относится к временному ряду, который демонстрирует тенденцию возвращаться к своему историческому среднему значению. Математически такой (непрерывный) временной ряд называется процессом Орнштейна-Уленбека. Это контрастирует со случайным блужданием (броуновским движением), которое не имеет “памяти” о том, где оно было в каждый конкретный момент времени. Среднеобратимое свойство временного ряда можно использовать для создания прибыльных торговых стратегий.

Пример сигнала для покупки
— Значение Херста должно находиться в пределах от 0,5 до 1.
— Подождите, пока цена продолжится вверх, а затем войдите в сделку.
— Рассмотрите возможность выхода из сделки, когда значение H достигнет значения, близкого к 1.
— Установите стоп-лосс вблизи недавнего минимума для управления рисками.

Hurst: Условия продажи
— Значение Херста должно быть между 0,5 и 0.
— Ждите, пока цена продолжится вниз.
— Рассмотрите возможность выхода из торговли, когда значение H достигнет значения, близкого к 0,5.
Установите стоп-лосс вблизи недавнего максимума, чтобы ограничить потенциальные потери.